Dynamika podwójnego wahadła fizycznego o zmiennej masie we współrzędnych bezwymiarowych *

STRESZCZENIE: W artykule podjęto próbę opisu matematycznego i analizy zjawiska wymiany masy pomiędzy członami podwójnego wahadła fizycznego i jego wpływu na dynamikę układu. W badanym układzie wraz z upływem czasu następowało – pod wpływem grawitacji – zmniejszenie masy górnego członu i jednoczesne zwiększenie masy dolnego członu wahadła. Całkowita masa układu nie zmieniała się. Na potrzeby analizy wprowadzono bezwymiarowy czas i bezwymiarowe parametry, co pozwoliło na przedstawienie równań ruchu w postaci bezwymiarowej. Wykazano, że zmiana masy w układzie ma istotny wpływ na jego dynamikę. Wzrost masy dolnego członu wahadła zmniejsza amplitudę drgań. Obliczenia numeryczne przeprowadzono w programie Mathematica.

SŁOWA KLUCZOWE: wymiana masy, podwójne wahadło, chaos

ABSTRACT: The article concerns considerations, whose the theme is to try to mathematical description and analysis of the study of the phenomenon of mass exchange between the members of double physical pendulum and its impact on the dynamics of the whole system. In the analyzed system, with time, under the influence of gravity, the mass of the upper member of pendulum decreases and the mass of the lower member of pendulum increases. The total mass of the system doesn’t change. For the analysis introduced dimensionless time and dimensionless parameters, which allows the presentation of the equations of motion in dimensionless form. It has been shown that the change of mass in the system has a significant impact on the dynamics. The increase in mass of the lower member reduces the amplitude of vibration of the pendulum. The numerical calculations were performer in the Mathematica package.

KEYWORDS: variable mass, double pendulum, chaos

BIBLIOGRAFIA / BIBLIOGRAPHY:

• Awrejcewicz J., Holicke M.M. “Analytical prediction of chaos in rotated Froude pendulum”. Nonlinear Dynamics. 47, 3–24 (2007).
• Bąkowski A., Radziszewski L., Žmindak M. “Determining the polytrophic exponent of the process occurring during the working cycle of a diesel”. Procedia Engineering. Vol. 136 (2016): pp. 220–226.
• Eke F.O., Mao T.C. “On the dynamics of variable mass systems”. International Journal of Mechanical Engineering Education. Vol. 30, No. 2 (2002): pp. 123–137.
• Hoffmann T.J., Chudzicka-Adamczak M., Kwiatkowski R. “Fundamentals of dynamics of double pendulum with changing mass”. Machine Modeling and Simulations. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, ISBN: 978-83-923315-2-0, 2012: pp. 403–410.
• Hoffmann T.J., Kwiatkowski R. „Wpływ wymiany masy na dynamikę układu podwójnego wahadła”. Wybrane problemy naukowo-badawcze mechaniki i inżynierii materiałowej, praca zbiorowa pod. red. J. Wernika. Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej Filia w Płocku, ISBN: 978-83-62081-19-6, 2013: s. 287–298.
• Kwiatkowski R. “Movement of double mathematical pendulum with variable mass”. Machine Dynamics Research. Vol. 38, No. 2 (2014): pp. 47–58.
• Kwiatkowski R. “Vibration damping in the double mathematical pendulum with variable mass”. Machine Dynamics Research. Vol. 38, No. 4 (2014): pp. 23–32.
• Kwiatkowski R. „Analiza dynamiki podwójnego wahadła matematycznego i fizycznego o zmiennej masie”. Inżynieria wytwarzania, praca zbiorowa pod red. D. Kasprzaka, A. Mrowca i K. Talaśki. Kalisz: Wydawnictwo Uczelniane PWSZ w Kaliszu, ISBN 978-83-64090-41-7, 2014: s. 73–82.
• Kwiatkowski R. “Dynamic analysis of double pendulum with variable mass and initial velocities”. Procedia Engineering. Vol. 136 (2016): pp. 175–180.
• Mocilan M., Zmindak M., Pastorek P. “Dynamic analysis of fuel tank”. Procedia Engineering. Vol. 136 (2016): pp. 45–49.
• Sado D. „Drgania regularne i chaotyczne w wybranych układach z wahadłami”. Warszawa: WNT, 2010.
• Weber F., Maślanka M. “Frequency and damping adaptation of a TMD with controlled MR damper”. Smart Materials and Structures. Vol. 21, No. 5 (2012).

DOI: http://dx.doi.org/10.17814/mechanik.2016.11.525